You get a bonus - 1 coin for daily activity. Now you have 1 coin

Subfactorial

Lecture



The subfactorial of the number n (symbol :! N ) is defined as the number of disorders of order n , that is, permutations of order n without fixed points. The name of the subfactorial comes from the analogy with factorial, which determines the total number of permutations.

In particular ,! N is the number of ways to put n letters in n envelopes (one in each), so that no one gets into the corresponding envelope (the so-called Letter Problem).

Explicit Formula

The subfactorial can be calculated using the inclusion-exclusion principle:

Subfactorial

Other formulas [edit]

  • Subfactorial where Subfactorial denotes an incomplete gamma function ( English ), and e is a mathematical constant;
  • Subfactorial where Subfactorial denotes the integer closest to x .
  • Subfactorial (according to Mehdi Hassani ) where Subfactorial denotes the integer part of a number.
  • Formal identities are true: Subfactorial and Subfactorial where Subfactorial need to understand how Subfactorial , but Subfactorial - as Subfactorial .

Table of Values

! 1 = 0

! 2 = 1

! 3 = 2

! 4 = 9

! 5 = 44

! 6 = 265

! 7 = 1 854

! 8 = 14,833

! 9 = 133 496

! 10 = 1,334,961

! 11 = 14,684,570

! 12 = 176 214 841

! 13 = 2 290 792 932

! 14 = 32 071 101 049

! 15 = 481 066 515 734

! 16 = 7 697 064 251 745

! 17 = 130,850,092,279,664

! 18 = 2 355 301 661 033 953

! 19 = 44 750 731 559 645 106

! 20 = 895 014 631 192 902 121

! 21 = 18,795,307 255,050,944,540

sequence A000166 in OEIS

Properties [edit]

  • Subfactorial
  • Subfactorial (factorial has the same property)
  • Subfactorial
Where Subfactorial and Subfactorial . Initial members of the sequence Subfactorial :

1, 1, 3, 11, 53, 309, 2119, ... (sequence A000255 in OEIS)

  • The number 148349 is a subfactorion, that is, it is equal to the sum of the subfactorials of its numbers (analogue of the factorion):

Subfactorial (found JS Madachy, 1979)

  • Subfactorial is sometimes allowed in math games such as obtaining different results from certain numbers (for example, the game Four Four is known, where equality! 4 = 9 can be useful).

Comments

Анатолий
12-12-2020
Я очень увлекаюсь математикой и был очень рад найти эту статью о субфакториале. Интересно, можно ли использовать субфакториал для решения задач, связанных с распределением ресурсов между участниками проекта?
Катерина
07-01-2021
Спасибо за интересную статью! Я только начинаю изучать математику, и мне было очень интересно узнать о субфакториале. Я также хотел бы узнать, какие еще математические функции могут быть полезны для решения различных задач?
паша
18-03-2021
Я работаю в области криптографии, и мне очень интересно, как можно использовать субфакториал для защиты данных. Можно ли применять эту функцию для создания более безопасных алгоритмов шифрования?
Админ
08-05-2023
Субфакториал может быть использован в криптографии для создания более надежных алгоритмов шифрования, таких как алгоритмы подписи сообщений. Например, субфакториал может быть использован для определения длины случайного числа, которое используется для генерации ключа шифрования. Если злоумышленник не знает точной длины случайного числа, то ему будет трудно расшифровать сообщение. Кроме того, субфакториал может использоваться в качестве параметра в алгоритмах шифрования, таких как RSA и DSA. В этих алгоритмах используются большие простые числа, и субфакториал может быть использован для определения количества простых чисел, которые могут быть использованы в качестве параметров. Также субфакториал может использоваться для определения сложности криптографических задач, таких как вычисление дискретного логарифма в конечных полях. Определение сложности этих задач позволяет создавать более безопасные алгоритмы шифрования.
Игорь
01-12-2020
У меня возник вопрос: какая связь между субфакториалом и числом Эйлера? Я слышал, что эти две математические функции имеют какую-то общую формулу.
Admin
08-05-2023
Связь между субфакториалом и числом Эйлера заключается в том, что субфакториал может быть выражен через комбинаторные формулы с использованием числа Эйлера. Число Эйлера (обозначается как e) - это математическая константа, которая является основанием натурального логарифма. Оно равно приблизительно 2,71828. Формула для вычисления субфакториала, использующая числа Эйлера, выглядит следующим образом: !n = n!(1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!) Здесь n! - факториал числа n, а знаки перед дробями чередуются. Заметим, что в этой формуле фигурируют дроби 1/0!, 1/1!, 1/2! и т.д., которые связаны с числом Эйлера.
Маша
01-12-2020
Это была очень полезная статья, спасибо за информацию о субфакториале! Я хотел бы узнать, есть ли какие-то реальные примеры применения этой функции в жизни, кроме тех, что уже упоминались в статье?
Админ
08-05-2023
Предположим, что в лотерее участвует n человек, и будет разыграно k призов. Вероятность выигрыша одного конкретного человека равна 1/n. Тогда вероятность того, что он не выиграет приз, равна (n-1)/n. Таким образом, вероятность того, что он не выиграет приз из первых k розыгрышей, равна ((n-1)/n) * ((n-2)/(n-1)) * ... * ((n-k+1)/(n-k+2)) * ((n-k)/n). Эту формулу можно упростить, используя субфакториал. Напомним, что субфакториал от n обозначается как !n и определяется как количество перестановок n элементов, в которых ни один элемент не остаётся на своём месте. Тогда вероятность того, что он не выиграет приз из первых k розыгрышей, можно записать как: ((n-1)/n) * ((n-2)/(n-1)) * ... * ((n-k+1)/(n-k+2)) * ((n-k)/n) = !n/(n^k) Таким образом, вероятность того, что он выиграет хотя бы один приз из первых k розыгрышей, равна 1 - !n/(n^k). Например, если в лотерее участвует 10 человек, и будет разыграно 3 приза, то вероятность того, что конкретный человек выиграет хотя бы один приз, равна 1 - !10/(10^3) = 0.271.

To leave a comment
If you have any suggestion, idea, thanks or comment, feel free to write. We really value feedback and are glad to hear your opinion.
To reply

Discrete Math. Set theory. Graph theory. Combinatorics.

Terms: Discrete Math. Set theory. Graph theory. Combinatorics.