You get a bonus - 1 coin for daily activity. Now you have 1 coin

Математические модели в пространстве состояний

Lecture



Основу математической модели многомерной системы во временной области составляет векторно-матричная форма записи системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая носит название уравнения состояния. Уравнение состояния имеет вид –

Математические модели в пространстве состояний

(1)

где Математические модели в пространстве состояний  — вектор состояния размерности Математические модели в пространстве состояний , который включает в себя переменные объекта, однозначно определяющие его состояние,

Математические модели в пространстве состояний

Математические модели в пространстве состояний  — вектор управления или входа размерности Математические модели в пространстве состояний , который включает в себя сигналы, действующие на систему извне,

Математические модели в пространстве состояний

Математические модели в пространстве состояний  — матрицы параметров, включающие в себя параметры системы, размерность которых соответственно Математические модели в пространстве состояний ,

Математические модели в пространстве состояний

Математические модели в пространстве состояний  — порядок системы.

Иногда уравнение состояния (1) записывают в развернутой форме –

Математические модели в пространстве состояний .

Уравнение состояния и структура полностью описывают объект управления, вектор состояния содержит переменные объекта, которые однозначно описывают его состояние.

Но в реальных системах многие компоненты не могут быть измерены или наблюдаемы с помощью датчиков. Эту ситуацию разрешает введение дополнительного уравнения выхода, которое определяет те переменные, которые доступны для наблюдения (на выходе системы) –

Математические модели в пространстве состояний

(2)

где Математические модели в пространстве состояний  — вектор выхода размерности Математические модели в пространстве состояний , который содержит переменные объекта, доступные для наблюдения,

Математические модели в пространстве состояний

Математические модели в пространстве состояний  — матрица параметров размерности Математические модели в пространстве состояний  –

Математические модели в пространстве состояний

в системах управления Математические модели в пространстве состояний

Уравнение выхода (2) также можно записать в развернутой форме

Математические модели в пространстве состояний

Графически уравнение состояния и уравнение выхода могут быть представлены в виде, показанном на рис. 1.

Математические модели в пространстве состояний

Рис. 1

Символ интегрирования на схеме означает покомпонентное интегрирование векторной величины.

В общем виде пространство состояний Математические модели в пространстве состояний — мерной системы задается радиус-вектором Математические модели в пространстве состояний  в координатной системе, оси которой определяются компонентами вектора состояния, как это показано на рис. 2.

Математические модели в пространстве состояний

Рис. 2

Рассмотрим несколько примеров представления процессов в пространстве состояний.

Пример

Рассмотрим в пространстве состояний процесс пуска электродвигателя (М) постоянного тока с постоянными магнитами, принципиальная схема установки показана на рис. 3. Пуск производится подключением с помощью контакта (К) напряжения Математические модели в пространстве состояний , при этом в цепи будет протекать ток Математические модели в пространстве состояний  и двигатель будет вращать вал с нагрузкой (Н) со скоростью Математические модели в пространстве состояний , ток и скорость определяются с помощью датчиков соответственно ДТ ДС.

Математические модели в пространстве состояний

Рис. 3

Состояние двигателя в данном случае однозначно определяется током и скоростью двигателя, поэтому вектор состояния задаем в следующем виде –

Математические модели в пространстве состояний .

Вектор входа будет иметь только одну компоненту Математические модели в пространстве состояний . Графики изменения во времени переменных двигателя показаны на рис. 4.

Математические модели в пространстве состояний

Рис. 4

На рис. 4 введены обозначения: Математические модели в пространстве состояний  — установившиеся значения соответственно скорости и тока, Математические модели в пространстве состояний  – максимальное значение тока при пуске.

Сформируем двухмерное пространство состояний двигателя с траекторией движения конца вектора состояния в процессе пуска, для этого откладываем проекции вектора, то есть ток и скорость, в одинаковые моменты времени.

Математические модели в пространстве состояний

Рис. 5

Пример

Рассмотрим в пространстве состояний процесс позиционирования, то есть перемещения вала в заданное положение Математические модели в пространстве состояний , в автоматизированном электроприводе, показанном на рис. 6.

Математические модели в пространстве состояний

Рис. 6

В этом случае состояние двигателя и всей системы электропривода в целом определяют три переменные двигателя ток Математические модели в пространстве состояний , скорость Математические модели в пространстве состояний  и положение вала Математические модели в пространстве состояний

Математические модели в пространстве состояний .

Графики изменения во времени переменных двигателя показаны на рис. 7.

Математические модели в пространстве состояний

Рис. 7

Сформируем трехмерное пространство состояний электропривода с траекторией движения конца вектора состояния в процессе позиционирования по временным графикам изменения компонент вектора состояния.

Математические модели в пространстве состояний

Рис. 8

Теперь рассмотрим получения математической модели многомерного объекта в виде уравнений состояния на примере двухмассовой упругой механической системы, показанной на рис. 9.

Математические модели в пространстве состояний

Рис. 9

Двухмассовая упругая система представляет собой механическую систему, состоящую из двух вращающихся масс с моментами инерции Математические модели в пространстве состояний  и Математические модели в пространстве состояний . К каждой массе прикладывается извне момент (Математические модели в пространстве состояний  и Математические модели в пространстве состояний ), массы соединены валом, обладающим упругими свойствами (Математические модели в пространстве состояний ), массы вращаются со скоростями Математические модели в пространстве состояний  и Математические модели в пространстве состояний .

Система дифференциальных уравнений, описывающих систему, имеет вид –

Математические модели в пространстве состояний

(3)

где Математические модели в пространстве состояний  – разность углов положения первой Математические модели в пространстве состояний  и второй Математические модели в пространстве состояний  масс.

Так как уравнения состояния (1) и выхода (2) имеют единый для всех линейных систем вид, поэтому, чтобы определить их для конкретной системы мы должны выполнить следующее:

    • задать векторы состояния и входа, определив тем самым порядок системы и порядок вектора входа,

    • определить матрицы параметров уравнений.

Состояние системы определяется тремя переменными Математические модели в пространстве состояний , поэтому задаем вектор состояния следующего вида –

Математические модели в пространстве состояний .

Порядок системы Математические модели в пространстве состояний . Заметим, что положение переменных в векторе состояния можно задать произвольно, но в дальнейшем изменять его нельзя. Вектор входа определяется сигналами, действующими на систему извне, а это – моменты Математические модели в пространстве состояний  и Математические модели в пространстве состояний , поэтому вектор входа имеет вид –

Математические модели в пространстве состояний .

Порядок вектора выхода Математические модели в пространстве состояний . Здесь также порядок следования компонент может быть произвольным, но фиксированным в дальнейших операциях.

Преобразуем уравнения системы (3) к форме Коши –

Математические модели в пространстве состояний

(4)

Нам требуется получить уравнение состояния для системы третьего порядка с вектором входа второго порядка, посмотрим, что представляет собой это уравнение в общем виде –

Математические модели в пространстве состояний .

Раскрывая матричные скобки, получим –

Математические модели в пространстве состояний

(5)

Теперь можно сформулировать задачу следующего этапа. Необходимо привести систему (4) в виду (5), для этого следует:

  • расположить уравнения в порядке следования компонент в векторе состояния,

  • расположить слагаемые в правых частях слева на право в порядке следования сначала компонент вектора состояния, затем вектора входа,

  • отсутствующие слагаемые заменяем произведениями переменных на нулевые коэффициенты.

В результате коэффициенты в правых частях при соответствующих компонентах векторов состояния и входа будут компонентами искомых матриц уравнения состояния.

Преобразуем систему (4) к виду (5), в результате получим –

Математические модели в пространстве состояний

(6)

В результате по коэффициентам слагаемых в правых частях (6) получим искомые матрицы параметров уравнения состояния –

Математические модели в пространстве состояний

Уравнение состояния в развернутом виде –

Математические модели в пространстве состояний

Вид уравнения выхода определяется тем, какие компоненты вектора состояния доступны для наблюдения. В электромеханических системах электроприводов, эквивалентом которых является упругая двухмассовая система, возможны три варианты датчиковых систем (полагаем датчики безынерционными, а коэффициенты преобразования датчиков единичными):

    1. Датчики скорости установлены на обеих массах. Тогда имеем следующее уравнение выхода –

Математические модели в пространстве состояний

То есть имеем Математические модели в пространстве состояний ,

Математические модели в пространстве состояний

    1. Датчик скорости установлен на первой массе, уравнение выхода –

Математические модели в пространстве состояний

Математические модели в пространстве состояний Математические модели в пространстве состояний

    1. Датчик скорости установлен на второй массе, уравнение выхода –

Математические модели в пространстве состояний

Математические модели в пространстве состояний Математические модели в пространстве состояний

 

Контрольные вопросы и задачи

      1. Перечислите компоненты уравнения состояния (векторы и матрицы), их размерности.

      2. Поясните смысл уравнения выхода, перечислите компоненты и их размерности.

      3. По системе дифференциальных уравнений, описывающих многомерную систему –

Математические модели в пространстве состояний ,

полагая векторы состояния и входа –

Математические модели в пространстве состояний ,

записать уравнение состояния в развернутой форме.

Ответ:

Математические модели в пространстве состояний .

    1. По уравнению состояния

Математические модели в пространстве состояний ,

описывающему многомерную систему, определить систему дифференциальных уравнений, связывающих компоненты векторов состояния и входа.

Ответ:

.Математические модели в пространстве состояний .

    1. По системе дифференциальных уравнений, описывающих многомерную систему –

Математические модели в пространстве состояний

полагая векторы состояния и входа –

Математические модели в пространстве состояний ,

записать уравнение состояния в развернутой форме.

Ответ:

Математические модели в пространстве состояний


Comments


To leave a comment
If you have any suggestion, idea, thanks or comment, feel free to write. We really value feedback and are glad to hear your opinion.
To reply

Mathematical foundations of the theory of automatic control

Terms: Mathematical foundations of the theory of automatic control