Lecture
Основу математической модели многомерной системы во временной области составляет векторно-матричная форма записи системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая носит название уравнения состояния. Уравнение состояния имеет вид –
(1) |
где — вектор состояния размерности , который включает в себя переменные объекта, однозначно определяющие его состояние,
— вектор управления или входа размерности , который включает в себя сигналы, действующие на систему извне,
— матрицы параметров, включающие в себя параметры системы, размерность которых соответственно ,
— порядок системы.
Иногда уравнение состояния (1) записывают в развернутой форме –
.
Уравнение состояния и структура полностью описывают объект управления, вектор состояния содержит переменные объекта, которые однозначно описывают его состояние.
Но в реальных системах многие компоненты не могут быть измерены или наблюдаемы с помощью датчиков. Эту ситуацию разрешает введение дополнительного уравнения выхода, которое определяет те переменные, которые доступны для наблюдения (на выходе системы) –
(2) |
где — вектор выхода размерности , который содержит переменные объекта, доступные для наблюдения,
— матрица параметров размерности –
в системах управления
Уравнение выхода (2) также можно записать в развернутой форме
Графически уравнение состояния и уравнение выхода могут быть представлены в виде, показанном на рис. 1.
Рис. 1
Символ интегрирования на схеме означает покомпонентное интегрирование векторной величины.
В общем виде пространство состояний — мерной системы задается радиус-вектором в координатной системе, оси которой определяются компонентами вектора состояния, как это показано на рис. 2.
Рис. 2
Рассмотрим несколько примеров представления процессов в пространстве состояний.
Пример
Рассмотрим в пространстве состояний процесс пуска электродвигателя (М) постоянного тока с постоянными магнитами, принципиальная схема установки показана на рис. 3. Пуск производится подключением с помощью контакта (К) напряжения , при этом в цепи будет протекать ток и двигатель будет вращать вал с нагрузкой (Н) со скоростью , ток и скорость определяются с помощью датчиков соответственно ДТ ДС.
Рис. 3
Состояние двигателя в данном случае однозначно определяется током и скоростью двигателя, поэтому вектор состояния задаем в следующем виде –
.
Вектор входа будет иметь только одну компоненту . Графики изменения во времени переменных двигателя показаны на рис. 4.
Рис. 4
На рис. 4 введены обозначения: — установившиеся значения соответственно скорости и тока, – максимальное значение тока при пуске.
Сформируем двухмерное пространство состояний двигателя с траекторией движения конца вектора состояния в процессе пуска, для этого откладываем проекции вектора, то есть ток и скорость, в одинаковые моменты времени.
Рис. 5
Пример
Рассмотрим в пространстве состояний процесс позиционирования, то есть перемещения вала в заданное положение , в автоматизированном электроприводе, показанном на рис. 6.
Рис. 6
В этом случае состояние двигателя и всей системы электропривода в целом определяют три переменные двигателя ток , скорость и положение вала –
.
Графики изменения во времени переменных двигателя показаны на рис. 7.
Рис. 7
Сформируем трехмерное пространство состояний электропривода с траекторией движения конца вектора состояния в процессе позиционирования по временным графикам изменения компонент вектора состояния.
Рис. 8
Теперь рассмотрим получения математической модели многомерного объекта в виде уравнений состояния на примере двухмассовой упругой механической системы, показанной на рис. 9.
Рис. 9
Двухмассовая упругая система представляет собой механическую систему, состоящую из двух вращающихся масс с моментами инерции и . К каждой массе прикладывается извне момент ( и ), массы соединены валом, обладающим упругими свойствами (), массы вращаются со скоростями и .
Система дифференциальных уравнений, описывающих систему, имеет вид –
(3) |
где – разность углов положения первой и второй масс.
Так как уравнения состояния (1) и выхода (2) имеют единый для всех линейных систем вид, поэтому, чтобы определить их для конкретной системы мы должны выполнить следующее:
задать векторы состояния и входа, определив тем самым порядок системы и порядок вектора входа,
определить матрицы параметров уравнений.
Состояние системы определяется тремя переменными , поэтому задаем вектор состояния следующего вида –
.
Порядок системы . Заметим, что положение переменных в векторе состояния можно задать произвольно, но в дальнейшем изменять его нельзя. Вектор входа определяется сигналами, действующими на систему извне, а это – моменты и , поэтому вектор входа имеет вид –
.
Порядок вектора выхода . Здесь также порядок следования компонент может быть произвольным, но фиксированным в дальнейших операциях.
Преобразуем уравнения системы (3) к форме Коши –
(4) |
Нам требуется получить уравнение состояния для системы третьего порядка с вектором входа второго порядка, посмотрим, что представляет собой это уравнение в общем виде –
.
Раскрывая матричные скобки, получим –
(5) |
Теперь можно сформулировать задачу следующего этапа. Необходимо привести систему (4) в виду (5), для этого следует:
расположить уравнения в порядке следования компонент в векторе состояния,
расположить слагаемые в правых частях слева на право в порядке следования сначала компонент вектора состояния, затем вектора входа,
отсутствующие слагаемые заменяем произведениями переменных на нулевые коэффициенты.
В результате коэффициенты в правых частях при соответствующих компонентах векторов состояния и входа будут компонентами искомых матриц уравнения состояния.
Преобразуем систему (4) к виду (5), в результате получим –
(6) |
В результате по коэффициентам слагаемых в правых частях (6) получим искомые матрицы параметров уравнения состояния –
Уравнение состояния в развернутом виде –
Вид уравнения выхода определяется тем, какие компоненты вектора состояния доступны для наблюдения. В электромеханических системах электроприводов, эквивалентом которых является упругая двухмассовая система, возможны три варианты датчиковых систем (полагаем датчики безынерционными, а коэффициенты преобразования датчиков единичными):
Датчики скорости установлены на обеих массах. Тогда имеем следующее уравнение выхода –
То есть имеем ,
Датчик скорости установлен на первой массе, уравнение выхода –
,
Датчик скорости установлен на второй массе, уравнение выхода –
,
Перечислите компоненты уравнения состояния (векторы и матрицы), их размерности.
Поясните смысл уравнения выхода, перечислите компоненты и их размерности.
По системе дифференциальных уравнений, описывающих многомерную систему –
,
полагая векторы состояния и входа –
,
записать уравнение состояния в развернутой форме.
Ответ:
.
По уравнению состояния
,
описывающему многомерную систему, определить систему дифференциальных уравнений, связывающих компоненты векторов состояния и входа.
Ответ:
..
По системе дифференциальных уравнений, описывающих многомерную систему –
полагая векторы состояния и входа –
,
записать уравнение состояния в развернутой форме.
Ответ:
Comments
To leave a comment
Mathematical foundations of the theory of automatic control
Terms: Mathematical foundations of the theory of automatic control