Analytical way of presenting task 1 - The concept of

Moving on. The complexity of the problem often dictates the way the model is presented that will be used in its description. We show this on the example of the simplest problem.

Task 1. Let two objects (for example, a pedestrian and a cyclist) move towards each other (Fig. 1.17) with speeds V 1 and V 2, respectively. It is necessary to find out: when and where will these objects meet?

Fig. 1.17. Meeting task

Analytical way of presenting task 1

Analytic explicit method

This model is very far from reality. It is problematic to study something on it, since from it one can find only time T and a meeting place S. Idealization lies in the fact that the road is considered to be perfectly straight, without inclines and rises, the speeds of objects are considered constant, the desires of objects do not change, the forces are unlimited, there are no obstacles for movement, the model does not depend on D , V 1 , V 2 arbitrarily large or small).

Reality usually has nothing to do with this formulation of the problem. But due to a large idealization (idealization of a large order), a very simple model is obtained, which can be resolved in a general form (analytically) by mathematical methods. This is how most often algorithmic models are formulated, where a chain of calculations is stretched from the source data to the output. Therefore, we used an assignment character (: =) in the record. After calculating the right side of the expression, its value is assigned to the variable on the left side. The value of this variable is then applied on the right side of the following expression. Schematically it looks like the picture. 1.18.

Fig. 1.18. Meeting Problem Solving Scheme (explicit analytical method)

Analytical implicit method

In this formulation, due to the use of the adjustment sign, the relationship between the variables f ( T , V 1 , V 2 , D , S ) = 0 is obtained in the form of a system of equations. By setting the “?” Sign to various variables, one can, if necessary, formulate a number of arbitrary tasks, for example:

При этом задачи формулируются пользователем и не предусматриваются специально моделировщиком. То есть модель имеет вид объекта . Мы получили более качественную модель. Идеализация её велика, но за счёт неявной формы записи появилась возможность изменения задачи, изучения на ней целого ряда проблем.

Имитационный способ представления задачи 1

При имитационном способе решения обязательным является наличие некоего счётчика, который позволяет моделировать процесс по шагам или по деталям процесса.

Имитационный алгоритмический способ

Повторяя пошагово расчёт в цикле, на каждом этапе работы алгоритма будем имитировать течение процесса (рис. 1.19). Обратите внимание, что процесс берётся не в целом, а как бы в деталях, по шагам. Переменная t является координатой, а значит, отслеживается счётчиком с шагом h . Идея имитации — продвигать пешехода и велосипедиста на величину V · h на каждом такте, где h — достаточно малая величина. Поскольку мы рассматриваем множество актов движения по отдельности, можно по ходу менять все переменные модели, например, V . Если путь пройден большой ( S 1 ), то можно устроить привал ( V = 0) на некоторое время. Остановка процесса имитации определяется суммой путей, пройденных велосипедистом и пешеходом навстречу друг другу, и сравнением её с расстоянием D .

Fig. 1.19. Блок-схема решения задачи о встрече (имитационный алгоритмический способ)

На формально-математическом языке алгоритм выглядит так, как показано ниже.

Имитационный геометрический способ

Решение может быть найдено геометрически. Для этого в осях ( t , S ) схемой, показанной нарис. 1.20, строятся траектории движения объектов.

Fig. 1.20. Схема решения задачи о встрече (имитационный геометрический способ)

In fig. 1.21 вы видите картину, образованную двумя осциллограммами. Точка, в которой пересекаются осциллограммы, является предполагаемой точкой встречи двух объектов.

Fig. 1.21. Вид решения задачи о встрече (имитационный геометрический способ)

Имитационная статистическая постановка задачи

Главное отличие имитационных моделей от аналитических, которые мы рассмотрели выше, состоит в том, что имитационную модель можно постепенно усложнять, при этом результативность модели не падает.

Усложним задачу 1, введя в неё дополнительное условие. Представим, что на пути первого и/или второго объекта встретится помеха — пусть это будет участок железной дороги со шлагбаумом, который работает по случайному закону. Если шлагбаум открыт, то объект может переходить железную дорогу, в противном случае он не имеет права этого делать.

Промоделировать случайную работу шлагбаума можно с помощью генератора случайных чисел (ГСЧ). В различные моменты времени ГСЧ будет выдавать случайное число r = 0 или r = 1, это будет означать, что шлагбаум закрыт или, соответственно, открыт (см. рис. 1.22).

Fig. 1.22. Вид функции случайных помех (к задаче о встрече)

Частоту открывания шлагбаума можно контролировать, увеличивая или, наоборот, уменьшая число q , пересчитав случайное число r в z по формуле: z := ed( q – r ).

In fig. 1.23 дана иллюстрация усложнённой задачи 1.

Fig. 1.23. Иллюстрация к усложнённой задаче о встрече

In fig. 1.24 представлена алгоритмическая схема задачи.

Fig. 1.24. Схема решения задачи о встрече (имитационный статистический способ)

Условия b1 и b2 контролируют, находится ли первый и/или второй объект менее чем за 5 метров от шлагбаума, когда тот закрыт. b1 = 1 ( b2 = 1) — это условие «не двигаться», если объект находится в зоне шлагбаума и шлагбаум закрыт; a — место нахождения шлагбаума, расстояние до шлагбаума от нуля; f — флаг встречи. Если f = 0, то встреча произошла и моделирование начинается снова с t = 0, S1 = 0, S2 = 0, а к статистическим счётчикам необходимо прибавить итоги эксперимента — номер эксперимента, время встречи, место встречи.

Поскольку алгоритм использует случайные числа в качестве исходных данных, придётся сделать несколько экспериментов и найти средние значения выходных величин. Результат одного эксперимента случаен и ни о чем не говорит. Среднее значение более информативно. Ещё более информативны сведения о первом и втором моменте — среднем и разбросе значений вокруг него (дисперсии) и так далее.

Имитационный критериальный способ

Этот способ — ещё один шаг к усложнению модели и приближению её к реальным условиям. Если во всех предыдущих случаях скорость V была известна, то теперь она — непредсказуема, даже статистически, что чаще всего и наблюдается в реальных условиях. Скорость V объекта принимается из некоторых дополнительных моделей. Причём эти модели могут быть с обратными связями. Например, скорость может зависеть от обстановки, степени достижения цели, плана, целесообразности поведения, знания местности, желания двигаться (психологический мотив). Такая постановка ведёт к адаптивным системам и системам искусственного интеллекта.

Например, если объект (пешеход) имеет возможность осмотреть местность с обзорной башни, то он может заранее просчитать свой путь и затем следовать ему. Без обзорной башни пешеход может зайти в безвыходный тупик или бесконечно долго перебирать варианты пути. Для адаптивных систем вводится критерий для оценки перспективности выбора направления движения.

Итак, подведём итог.

Модель — способ замещения реального объекта, используемый для его исследования, когда натуральный эксперимент невозможен, дорог, опасен, долговременен.

Examples Поскольку исследование Луны небезопасно для человека, для этой цели используют луноход как модель исследователя; поскольку реальные эксперименты над экономикой страны дороги по своим последствиям, то используют математические модели экономики для изучения последствий управляющих решений; поскольку процесс обработки металлов взрывом скоротечен во времени, то его изучают на модели в увеличенном масштабе времени, а процесс коррозии — в уменьшенном; атом изучается в увеличенном масштабе пространства, а космогонические процессы — в уменьшенном масштабе пространства; поскольку при проектировании объекта его попросту не существует, то исследование будущих свойств объекта ведётся на модели.

Модель несёт системообразующую и смыслообразующую роль в научном познании. На модели изучают неизвестные свойства предметов. Модель стремится как можно более ярко выразить структуру явления, его главные аспекты. Модель является концентрированным выражением сущности предмета или процесса, выделяя только его основные черты.

Знания — это модели окружающего мира, фиксируемые человеком в его мозгу или на технических носителях. Модели обладают повышенной наглядностью, выделяя главные аспекты сущности, и активно используются в процессах познания и обучения. Человек, решая, как ему поступить в той или иной ситуации, всегда пытается представить себе последствия решения, для этого он проигрывает ситуацию, представляет её себе мысленно, строя модель в голове. Компьютер является усилителем для производства данной деятельности, инструментом информационной технологии. Компьютерные модели ускоряют процесс исследования, делают его более точным.

Алгоритмы — знания, выстраиваемые человеком (или, шире, разумным существом) в цепочку так, чтобы соединить исходное состояние с желаемым, целью; это один из вариантов ряда мероприятий, шагов, приводящих к цели.

Таким образом, модели — это основа разумной мыслительной деятельности; модели играют роль базиса, а моделирование — роль инструмента для прогнозирования.

Процесс моделирования состоит из трёх стадий: формализации (переход от реального объекта к модели), моделирования (исследование и преобразования модели), интерпретации (перевод результатов моделирования в область реальности).

Модель есть зависимость F между входом X и выходом Y . Модель отражает закономерность Y = F ( X ). Часто модель является законом. Модель верна в рамках допущенных при её построении гипотез. Поэтому модель ограничена некоторой областью и адекватна в ней.

Набор моделей образует научную дисциплину (механика, физика, горное дело и т. д.) Модель может быть расширена путём учёта в ней дополнительных параметров. Тогда область её применения становится шире.

Объект может быть представлен в виде аналитической или имитационной модели.

Аналитическое представление подходит лишь для очень простых и сильно идеализированных задач и объектов, которые, как правило, имеют мало общего с реальной (сложной) действительностью, но обладают высокой общностью. Аналитические модели обычно применяют для описания фундаментальных свойств объектов (поэтому ими так широко пользуется теоретическая физика), так как фундамент прост по своей сути. Сложные объекты редко удаётся описать аналитически.

Имитационное моделирование позволяет разлагать большую модель на части (объекты, «кусочки»), которыми можно оперировать по отдельности, создавая другие, более простые или, наоборот, более сложные модели. Таким образом, имитационное моделирование тяготеет к объектно-ориентированному представлению, которое естественным образом описывает объекты, их состояние, поведение, а также взаимодействие между ними. Имитационную модель можно постепенно усложнять и усложнять; аналитический способ этого не допускает или допускает, но с большими ограничениями.

Модель может быть соединена с другими моделями. Математически это означает совместное решение моделей (пересечение) и наложение тождеств на связываемые переменные. При связывании модели образуют систему, которая имеет определённую структуру (вложенную, параллельную, последовательную, смешанную, с обратными связями и т. д.)

Если к построенной модели добавить вопрос, то с помощью неё можно решить задачу, получить ответ, который заранее не очевиден. Если ответ заранее очевиден, то модель не строят. Обычно одна и та же модель годится для решения множества задач. Решая задачи, человек обычно строит модели в своей голове и оживляет (интерпретирует) их там же или на искусственном носителе (в среде моделирования).

Повторим:

модель + вопрос + дополнительные условия = задача.

В виде условий могут быть любые дополнительные выражения: равенства, присваивания начальных данных, неравенства, цели, функционалы и т. д., имеющие смысл ограничений, условий, дополнительных связей.

В виде вопроса может служить одна (или несколько) из неизвестных переменных.

Задача доопределяет свободные переменные модели, сужает область возможных решений.

Задачи, решаемые на модели, делятся на прямые и обратные. Прямые задачи по заданному X находят Y путём подстановки X в уравнение Y = F ( X ). Обычно такие задачи называют задачами анализа. Обратные задачи по заданному Y находят X путём нахождения обратной функции F –1 и подстановки X = F –1 ( Y ). Обычно их называют задачами синтеза. Если найти обратную функцию F –1 в явном виде затруднительно, то составляют вычислительные схемы для численного определения X . Часто к этому виду приводятся задачи управления объектами.

Ещё одной специфической задачей является нахождение по заданным X и Y зависимости F или её коэффициентов. Это задача построения (или настройки) модели.

Роль модели

Построив модель, исследователь может:

• прогнозировать свойства и поведение объекта как внутри области, в которой построена модель, так и (при обоснованном применении) за её пределами (прогнозирующая роль модели);
• управлять объектом, отбирая наилучшие воздействия путём испытания их на модели (управляющая роль);
• познавать явление или объект, модель которого он построил (познавательная роль модели);
• получать навыки по управлению объектом путём использования модели как тренажёра или игры (обучающая роль);
• улучшать объект, изменяя модель и испытывая её (проектная роль).

Адекватность модели

Поскольку модель является выражением конечного ряда и только важнейших для конкретного исследования аспектов сущности, то она не может быть абсолютно идентичной моделируемому объекту. Кроме этого, реальный объект бесконечен для познания. Поэтому нет смысла стремиться к бесконечной точности при построении модели. Для выяснения необходимой степени адекватности обычно строят ряд моделей, начиная с грубых, простых моделей и двигаясь ко все более сложным и точным. Как только затраты на построение очередной модели начинают превышать планируемую отдачу от модели, то уточнение модели прекращают. Первоначальные шаги производятся в каком-либо существующем универсальном моделирующем пакете. После одобрения модели под неё пишется специализированный пакет. Необходимость в этом возникает в случае, если функционирование модели в универсальной среде моделирования не удовлетворяет требованиям быстродействия (или каким-то другим).

The objectives of this course include the study of techniques and methods necessary for the formalization, study and interpretation of systems.

Modeling - applied engineering science class technological. Modeling is a discipline that aims to build models and study them by means of their own universal methods, as well as specific methods of the sciences related to it (mathematics, operations research, programming).