1. Системы множеств

Lecture



4

Comments

To leave a comment

If you have any suggestion, idea, thanks or comment, feel free to write. We really value feedback and are glad to hear your opinion.
To reply

Lectures and tutorial on "Functional analysis"

Terms: Functional analysis

Introduction to Functional Analysis and Its Basic Concepts
1. The concept of a set. Operations on sets. Mappings. The characteristic function of the set
2 . Topology and topological space. Base topology
3 . Open set structure and neighborhoods
4. The concept of a metric space and topology defined by a metric. Examples of metric spaces
5. The Closure Operation on a Set in a Topological Space
6 . Interior points of the set, interior. Set boundary
7 . Separable topological spaces
8. Induced topologies and factor topology
9 . H Continuous on tobrazhenie. Homeomorphism
10 . Compact spaces
1. Convergent sequences in metric spaces and complete metric spaces
2. The theorem on the completion of a metric space
3. Criterion for completeness of space
4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
5. Критерии компактности в пространствах С[0, 1], lp. Теорема Арцела
6. The Weierstrass Theorem on Uniform Approximation and the Separability of C[0, 1]
7. Mappings of Compact Sets. The Weierstrass Theorem on Boundedness and the Attainment of Exact Bounds by a Continuous Function
8. The Contraction Mapping Principle and Its Applications
9. Nowhere Dense Sets. The Notion of Category of Sets in a Metric Space. The Baire Theorem
1. Системы множеств
2. Системы множеств в евклидовом пространстве
3. Set Functions
4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
5. Outer Measure
6. Измеримые множества
7. Мера Лебега на Rn
1. Измеримые функции и их свойства
2. Convergence Almost Everywhere
3. Convergence in Measure and Its Properties
4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
4. Предельный переход под знаком интеграла
5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
7. s-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини
1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах.
2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
4. Ортогональность и ортогональное дополнение
5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
1. Linear Operators in Normed Linear Spaces. Equivalence of Continuity and Boundedness. Computing Operator Norms. Examples
2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).
6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
2. Сопряженные пространства
3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
7. The Self-Adjoint Operator. The Norm of a Self-Adjoint Operator
1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
4. Резольвента и спектр оператора. Линейная независимость собственных векторов. Спектр вполне непрерывного оператора (конечномерность собственного подпространства, конечное число собственных значений вне круга)
5. Existence of an Eigenvalue of a Completely Continuous Operator in a Hilbert Space. The Hilbert-Schmidt Theorem
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Contents: Topology
1. Functional Analysis of Technical Objects
1.1. Formulating Functions
1.2. Functional-Structural Analysis of a Technical Object
Space in Functional Analysis
Banach Algebra over the Complex or Real Field